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第三十八章 清雪猜想NS方程的几何密钥（第1页）

2034年5月12日，星期五，深夜十时三十分。北京，北京大学，数学科学学院，新动力楼，洛清雪研究室。

五月中旬的燕园，春意渐深，夏意未至，正是一年中最温润丰腴的时节。白日里，阳光己有几分力道，但晚风依旧带着凉意，从西山方向吹来，掠过未名湖泛着粼粼波光的水面，拂过理科楼群间那些枝叶日渐繁茂的乔木，最后，在夜深人静时，带着草木蓬勃生长的气息与花朵将残未残的淡雅余香，轻轻叩打着新动力楼那扇朝东的、此刻仍透出灯光的窗户。夜空是深邃的墨蓝色，点缀着几颗格外明亮的星辰，一弯下弦月斜挂在天边，清辉如水，静静流淌在沉睡的校园屋瓦与林梢之上。

然而，在数学科学学院新动力大楼七层那间编号709的研究室内，时间与季节的流动仿佛被彻底隔绝、凝固。厚重的遮光窗帘将月色与夜色严实实地挡在外面，室内只有西壁均匀明亮的LED面板灯散发的、接近自然光的冷白色光线，毫无阴影地照亮着这个不足二十平米、却堪称“思维的浓缩宇宙”的方寸之地。

空气中弥漫着纸张、油墨、高品质白板笔墨水、以及运行中的高性能工作站散热产生的微弱电子气味混合的气息，还有一种长时间高度专注思考后留下的、近乎真空的凝滞感。唯一的声响来源，是墙角两台计算机集群机箱散热风扇低沉恒定的嗡鸣，以及偶尔响起的、笔尖划过纸张的沙沙声，或是手指在触控板上滑动、点击的细微声响。

研究室此刻的景象，若用一个词形容，便是“思维的圣殿”或“公式的战场”。西面墙壁，除了房门和那扇被封死的窗户，其余部分几乎被可滑动的白色书写板完全覆盖。而这些白板上，早己不是空白。它们被层层叠叠、色彩斑斓、密集到令人目眩的数学符号、定义、示意图、推导箭头、问号、划掉又重写的痕迹所完全占据，仿佛某种极度繁复、充满狂热智力活动印记的现代派壁画。

左侧墙壁的白板，是“纤维丛与几何结构”的领域。最上方是主纤维丛P（M，G）的标准定义，其中底空间M是三维有界区域Ω（或其时空拓展），结构群G是三维特殊仿射群SAff?（3）=?3?SL（3，?）。下面详细列出了这个非紧、非半单李群的李代数结构，以及其与流体运动学（平移、保体积线性形变）的对应关系。接着是仿射联络A=θ⊕Γ的定义，其中θ是?3-值1-形式（对应速度场u^?），Γ是sl（3，?）-值1-形式（编码速度梯度与局部变形）。这块白板上还画着各种平凡与非平凡丛的示意图，以及联络在丛上如何定义“水平方向”的图示。

右侧墙壁的白板，则聚焦于“纳维-斯托克斯方程及其几何化”。标准的NS方程被写在最显眼的位置。下方，则是长达数米的推导链条，展示了如何从几何作用量原理（基于主丛P和联络A构建的、包含动能、耗散和不可压缩约束的泛函）出发，通过变分，得到一组关于联络A的几何演化方程，并在严格的对应关系下，精确还原出经典的NS方程。其中，非线性项（u·?）u对应联络沿自身方向的协变导数，粘性项ν?2u对应曲率形式Θ的某种协变散度项，压力作为拉格朗日乘子自然出现。每一步推导都标有出处（她己发表或未发表的论文编号），关键步骤旁贴着便利贴，写着“需复核”、“与实验数据对比”、“正则性条件？”等注释。

正对书桌的主白板，是“核心问题与猜想”的阵地。这里相对“干净”一些，但内容最为凝练、也最惊心动魄。白板被分为几个区域：

区域A：己知结果与经典理论。列出了关于NS方程弱解、强解、局部适定性、部分特殊解（如轴对称、小初值）的经典定理（勒雷-霍普夫、Ladyzhenskaya、Caffarelli-Kohn-Nirenberg等），以及这些结果在几何框架下的重新表述或对应。

区域B：几何框架下的新视角。总结了“流体仿射主丛”理论带来的几个关键洞察：

稳态解与近似平坦联络的关联：在特定边界条件下，NS方程的稳态（或准稳态）解，对应于主丛P上满足d_AΘ≈0（某种“平坦性”条件）的联络A。她列出了之前对流实验验证的几个例子，并标注“实验支持强”。

涡旋拓扑与丛的拓扑的可能联系：用陈类（或推广的示性类）刻画流体区域拓扑（如孔洞、环量）对可能解类型的约束？旁边打着一个巨大的问号，但画了箭头指向左侧白板关于非平凡丛的图示。