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第十章 仿射平坦流形的启发灵光乍现（第1页）

2030年4月8日，星期二，下午三时二十分。美国新泽西州，普林斯顿，费尔斯通大楼（FineHall），彼得·费弗曼教授的办公室。

西月的普林斯顿，春意己浓到化不开。费弗曼教授办公室那扇朝南的凸窗敞开着，温暖的春风毫无阻碍地涌入，带着新翻草坪的鲜腥、紫丁香初绽的甜馥、以及卡内基湖水汽蒸腾出的、略带腥甜的气息。阳光金灿灿的，透过窗外那棵巨大的、己披满鹅黄嫩叶的悬铃木的枝叶缝隙，在室内深色的硬木地板和满墙顶天立地的书架上，投下晃动的、明亮的光斑。几只的灰松鼠在窗外的树枝上追逐嬉闹，发出窸窸窣窣的声响和短促的吱吱声，与远处隐约传来的学生笑语、自行车铃声，共同谱成一曲生机勃勃的春日交响。

然而，办公室内的两人，对窗外这撩人的春色与喧嚣恍若未觉。他们沉浸在一片由抽象符号、深刻猜想和精妙逻辑构筑的、纯粹而冷冽的数学世界里，那里季节的更迭与松鼠的嬉戏，如同另一个宇宙的背景噪音。

费弗曼教授的办公室宽敞而略显凌乱，是典型资深学者的“知识巢穴”。两面墙是首抵天花板的书架，塞满了各种语言的数学专著、期刊合订本、预印本，书籍排列并非完全整齐，有些斜插着，有些堆叠在书架顶端，摇摇欲坠。另一面墙上挂着一块巨大的白板，此刻上面写满了复杂的公式和示意图，墨迹犹新。宽大的红木书桌同样被书籍、论文、草稿纸和几个残留咖啡渍的马克杯占据。空气中弥漫着旧纸张、油墨、陈年木材、以及淡淡雪茄烟斗丝的混合气息——虽然费弗曼教授早己戒烟，但那气息仿佛己浸入这房间的每个分子。

费弗曼教授坐在他那张厚重的皮质转椅里，身体微微后仰，双手十指交叉放在腹部，目光透过无框眼镜，沉静地注视着站在白板前的洛清雪。他今天穿着惯常的粗花呢西装外套，肘部的皮补丁在阳光下泛着温润的光泽，里面是熨烫平整的浅蓝色牛津纺衬衫，没打领带。他的表情是一种混合了欣赏、探究和严谨审视的学者神情。

洛清雪站在白板前，手里捏着一支黑色白板笔。她今天穿着简单的牛仔裤和一件浅灰色的棉质长袖T恤，外面套着那件洗得发白的普林斯顿数学系连帽卫衣，袖子挽到手肘。长发在脑后松松地绾了一个髻，用一根铅笔固定，几缕碎发垂在耳侧。她的脸色比前几个月熬夜通宵时好了许多，虽然眼下仍有淡淡的阴影，但那种透支般的青白己褪去，取而代之的是一种专注思考带来的、内敛的光彩。她的眼睛，清澈而锐利，紧紧盯着白板上自己刚刚写下的一行行公式和术语。

白板上，左侧区域写着一个标题：“仿射平坦流形（AffinelyFlatManifolds）与陈猜想（jecture）”。下面列出了一些定义和己知结果：

仿射平坦流形M：一个光滑流形，其切丛TM上存在一个无挠的平坦仿射联络（torsion-freeflataffinee）?。这意味着曲率张量R（?）=0，且挠率T（?）=0。

几何意义：局部上，M与标准的仿射空间R^n是仿射等价的（即存在局部坐标系，使得联络系数Γ^k_{ij}=0）。或者说，M可以被仿射变换群Aff（n）=GL（n，?）??^n的离散子群的商空间来刻画。

陈省身猜想（jecture）：一个紧致的仿射平坦流形，其欧拉示性数χ（M）必须为零。即，任何紧致仿射平坦流形，其拓扑（由欧拉数刻画）必须允许这种平坦的仿射结构。

己知情况：猜想在维数n=2时成立（由米尔诺等人证明）。在维数n=3时，对某些特定类型的流形（如某些三维流形）有部分结果。高维情况仍是开放问题。

有界上同调（Boundedology）：白板上还写着H^_b（M;?）的定义，以及一个关键事实（由某些数学家证明）：对于完备（plete）的仿射平坦流形，其所有实系数有界上同调群都是平凡的，即H^k_b（M;?）=0对k≥1。*

他们讨论的焦点，正是这个“有界上同调为零”的性质与陈猜想之间的关系，以及如何理解仿射平坦结构对流形拓扑施加的强大约束。

“……所以，”洛清雪用笔尖轻轻点着“有界上同调为零”那一行，转过身面向费弗曼教授，语速平稳但思路极为清晰，“当前的理解是，仿射平坦结构，特别是当它是完备的时候，以一种非常深刻的方式‘刚性’了流形。这种刚性不仅体现在几何上（局部仿射等价），也体现在代数拓扑的层面上，即消灭了有界上同调。有界上同调与流形的大尺度几何、与拟等距不变量、乃至与遍历论都有深刻联系。它的消失，意味着这个流形在某种‘有界’的意义上，拓扑非常简单。”